a) Determinare la somma delle prime cinque potenze di 3 con esponente diverso da zero.

Per $n=5$ e $q=3$, la formula $\displaystyle S_n= a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$ restituisce:

$\displaystyle S_5= 3 \frac{1-3^5}{1-3}=363$.

b) Trova $S_5$ dati $\displaystyle a_4=\frac{1}{3}$ e $\displaystyle q=\frac{1}{3}$.

Dobbiamo trovare $a_1$ a partire da $a_4$, utilizzando la formula $a_n=a_1 q^{n-1}$:

$\displaystyle a_4=a_1 q^{3} \rightarrow \frac{1}{3}=a_1 \left( \frac{1}{3}\right)^{3}$, da cui ricaviamo $a_1=9$.

Per $n=5$ e $\displaystyle q=\frac{1}{3}$, la formula $\displaystyle S_n= a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$ restituisce:

$\displaystyle S_5= 9 \cdot \frac{1-(\frac{1}{3})^5}{1-\frac{1}{3}}=9 \cdot\frac{1-\frac{1}{243}}{1-\frac{1}{3}}=9\cdot \frac{242}{243}\cdot\frac{3}{2}=\frac{121}{9}$.