In questo articolo, risolveremo l’integrale seguente utilizzando il metodo della sostituzione:

$\displaystyle \int x^2 \sqrt{x^3 + 1} \, dx $

SOLUZIONE

Per risolvere l’integrale, effettuiamo la sostituzione $\displaystyle t = x^3 + 1$.

Ne segue che:

$\displaystyle dt = 3x^2 \, dx$

Riscriviamo quindi l’integrale utilizzando la sostituzione:

$\displaystyle\int x^2 \sqrt{x^3 + 1} \, dx = \int \frac{\sqrt{t}}{3} \, dt$

Semplifichiamo l’integrale:

$\displaystyle\frac{1}{3} \int \sqrt{t} \, dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + c$

Infine, esprimiamo la soluzione in termini di $x$ invece di $t$:

$\displaystyle \int x^2 \sqrt{x^3 + 1} \, dx= \frac{2}{9} (x^3 + 1)^{3/2} +c$