1) $\displaystyle |A(x)|\leq B(x)$

$\begin{cases}
A(x)\geq -B(x) &\\
A(x)\leq B(x) &
\end{cases}$

2) $\displaystyle |A(x)|\leq k$ con $k> 0$

$\begin{cases}
A(x)\geq -k &\\
A(x)\leq k &
\end{cases}$

3) $\displaystyle |A(x)|\geq B(x)$

$\displaystyle A(x)\leq -B(x)$ $\vee$ $\displaystyle  A(x)\geq B(x) $

4) $\displaystyle |A(x)|\geq k$ con $k> 0$

$\displaystyle A(x)\leq -k$ $\vee$ $\displaystyle  A(x)\geq k $

5) $\displaystyle |A(x)|\leq |B(x)|$ o $\displaystyle |A(x)|\geq |B(x)|$

I valori assoluti sono sempre positivi o nulli, pertanto, elevando al quadrato i due membri, si ottiene una disequazione equivalente.

$\displaystyle |A(x)|^2\leq |B(x)|^2$ o $\displaystyle |A(x)|^2\geq |B(x)|^2$

6)  Casi particolari  ($k\leq 0$)

a) $\displaystyle |A(x)|\leq k$, con $k<0$, la disequazione è impossibile.

b) $\displaystyle |A(x)|\leq 0$, la soluzione è data dagli $x$ tali che $A(x)=0$.

c) $\displaystyle |A(x)|< k$, con $k<0$, la disequazione è impossibile.

d) $\displaystyle |A(x)|< 0$,  la disequazione è impossibile.

e) $\displaystyle |A(x)|\geq k$, con $k<0$, la disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}$.

f) $\displaystyle |A(x)|\geq 0$,  la disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}$.

g) $\displaystyle |A(x)|> k$, con $k<0$, la disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}$.

h) $\displaystyle |A(x)|> 0$, la disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}$ ad esclusione degli $x$ tali che $A(x)=0$.

7) Disequazioni con più valori assoluti

– si studia il segno degli argomenti dei valori assoluti, si costruisce la tabella dei segni e si scrivono gli intervalli ottenuti dalla tabella;
– per ogni intervallo si scrive il sistema formato dalla disequazione e dall’intervallo stesso, tenendo conto dei segni degli argomenti dei valori assoluti e della  definizione di valore assoluto.
– si risolvono i sistemi.