Risolvere l’equazione differenziale a variabili separabili:

$\displaystyle y’= x^2 \cdot y$

SOLUZIONE

Separiamo le variabili:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot y \Rightarrow \frac{dy}{y} = x^2 \cdot dx$

Integriamo:

$\displaystyle \int \frac{1}{y} \, dy = \int x^2 \, dx$

$\displaystyle \ln |y |= \frac{x^3}{3} + c$

$\displaystyle y =\pm e^{\frac{x^3}{3} + c} = \pm e^c \cdot e^{\frac{x^3}{3}}$

Poiché $\pm e^c$ è semplicemente una costante reale, possiamo scrivere:

$\displaystyle y = c\cdot e^{\frac{x^3}{3}}$, con $c\in \mathbb{R}$.

Questa formula rappresenta tutte le soluzioni dell’equazione originaria compresa la soluzione costante $y=0$, che si ottiene per $c=0$.