In questo articolo presentiamo le tecniche risolutive delle disequazioni con i valori assoluti.

1) $\displaystyle |A(x)|\leq B(x)$

$\begin{cases}
A(x)\geq -B(x) &\\
A(x)\leq B(x) &
\end{cases}$

Esempio

$\displaystyle |x-3|\leq 2x+1$

$\begin{cases}
x-3\geq -(2x+1) &\\
x-3\leq 2x+1&
\end{cases}$

$\begin{cases}
\displaystyle x\geq \frac{2}{3} &\\
x\geq -3&
\end{cases}$

L’insieme delle soluzioni della disequazione è $S=\left\lbrace \displaystyle x\in \mathbb{R}\;| \;x\geq \frac{2}{3}\right\rbrace$.

2) $\displaystyle |A(x)|\leq k$ con $k> 0$

$\begin{cases}
A(x)\geq -k &\\
A(x)\leq k &
\end{cases}$

Esempio

$\displaystyle |x-3|\leq 4$

$\begin{cases}
x-3\geq -4&\\
x-3\leq 4&
\end{cases}$

$\begin{cases}
x\geq -1&\\
x\leq 7&
\end{cases}$

L’insieme delle soluzioni della disequazione è $S=\left\lbrace \displaystyle x\in \mathbb{R}\;| \;-1\leq x\leq 7\right\rbrace$.

3) $\displaystyle |A(x)|\geq B(x)$

$\displaystyle A(x)\leq -B(x)$ $\vee$ $\displaystyle  A(x)\geq B(x) $

Esempio

$\displaystyle |x-3|\geq 2x+1$

$\displaystyle x-3\leq -(2x+1)$  $\vee$ $\displaystyle x-3\geq 2x+1$

$\displaystyle x\leq \frac{2}{3}$  $\vee$ $\displaystyle x\leq -4$

L’insieme delle soluzioni della disequazione è $S=\left\lbrace \displaystyle x\in \mathbb{R}\;| \;x\leq \frac{2}{3}\right\rbrace$.

4) $\displaystyle |A(x)|\geq k$ con $k> 0$

$\displaystyle A(x)\leq -k$ $\vee$ $\displaystyle  A(x)\geq k $

Esempio

$\displaystyle |x-3|\geq 4$

$\displaystyle x-3\leq -4$ $\vee$ $\displaystyle x-3\geq 4$

$\displaystyle x\leq -1$ $\vee$ $\displaystyle x\geq 7$

L’insieme delle soluzioni della disequazione è $S=\left\lbrace \displaystyle x\in \mathbb{R}\;| \; x\leq -1\vee x\geq 7 \right\rbrace$.

5) $\displaystyle |A(x)|\leq |B(x)|$ o $\displaystyle |A(x)|\geq |B(x)|$

I valori assoluti sono sempre positivi o nulli, pertanto, elevando al quadrato i due membri, si ottiene una disequazione equivalente.

$\displaystyle |A(x)|^2\leq |B(x)|^2$ o $\displaystyle |A(x)|^2\geq |B(x)|^2$

Esempio

$\displaystyle |x-3|\geq |x+1|$

$\displaystyle |x-3|^2\geq |x+1|^2$

$\displaystyle x^2-6x+9 \geq x^2+2x+1$

$\displaystyle x\leq 1$

L’insieme delle soluzioni della disequazione è $S=\left\lbrace \displaystyle x\in \mathbb{R}\;| \; x\leq 1 \right\rbrace$.

6)  Casi particolari  ($k\leq 0$)

a) $\displaystyle |A(x)|\leq k$, con $k<0$, la disequazione è impossibile.

Esempio

$\displaystyle |2x-8|\leq -3$, la disequazione è impossibile.

b) $\displaystyle |A(x)|\leq 0$, la soluzione è data dagli $x$ tali che $A(x)=0$.

Esempio

$\displaystyle |x-3|\leq 0$, la soluzione è $x=3$.

c) $\displaystyle |A(x)|< k$, con $k<0$, la disequazione è impossibile.

Esempio

$\displaystyle |3x^3-8x-2|< -7$, la disequazione è impossibile.

d) $\displaystyle |A(x)|< 0$,  la disequazione è impossibile.

Esempio

$\displaystyle |3x-1|< 0$, la disequazione è impossibile.

e) $\displaystyle |A(x)|\geq k$, con $k<0$, la disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}$.

Esempio

$\displaystyle |2x-4|\geq -5$ la disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}$.

f) $\displaystyle |A(x)|\geq 0$,  la disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}$.

Esempio

$\displaystyle |5x^2-3x|\geq 0$, la disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}$ .

g) $\displaystyle |A(x)|> k$, con $k<0$, la disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}$.

Esempio

$\displaystyle |8x^2-3x+1|> -3$ la disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}$.

h) $\displaystyle |A(x)|> 0$, la disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}$ ad esclusione degli $x$ tali che $A(x)=0$.

Esempio

$\displaystyle |x-3|> 0$

La disequazione è verificata $\forall x\in \mathbb{R}-\left\lbrace 3\right\rbrace$

7) Disequazioni con più valori assoluti

Esempio

$|x+1|>|x-2|-3x+1$

1) studiamo il segno degli argomenti dei valori assoluti:

$x+1>0$ $\Rightarrow$ $x>-1$

$x-2>0$ $\Rightarrow$ $x>2$

2) costruiamo la tabella dei segni:

3) scriviamo l’equazione originaria in ogni intervallo, tenendo conto dello studio del segno degli argomenti al punto 2 e della definizione di valore assoluto:

$\begin{cases}
x<-1 &\\
-(x+1)>-(x-2)-3x+1&
\end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases}
x<-1 &\\
\displaystyle x>\frac{4}{3}&
\end{cases}$

Il sistema non ammette soluzioni.

$\begin{cases}
-1\leq x<2 &\\
(x+1)>-(x-2)-3x+1&
\end{cases}$$\Rightarrow$ $\begin{cases}
-1\leq x<2 &\\
\displaystyle x>\frac{2}{5}&
\end{cases}$

Il sistema è verificato per $\displaystyle \frac{2}{5}<x<2$.

$\begin{cases}
x\geq 2 &\\
(x+1)>(x-2)-3x+1&
\end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases}
x\geq 2 &\\
\displaystyle x>-\frac{2}{3}&
\end{cases}$

Il sistema è verificato per $\displaystyle x\geq 2$.

L’insieme delle soluzioni dell’equazione originaria è $\displaystyle S=\left\lbrace x>\frac{2}{5}\right\rbrace $.