Dati due insiemi $A$ e $B$ non vuoti, l’insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate $(a, b)$, ottenute prendendo il primo elemento in $A$ e il secondo in $B$, si chiama prodotto cartesiano di A per B.

In simboli: $A\times B=\lbrace\ (a, b)\:|\: a\in A \: \text{e} \: b\in B \rbrace$.

La cardinalità di $A\times B$ è data da: $|A\times B|=|A|\times|B|$.

Il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa: $A\times B\neq B\times A$.

Se uno dei due insiemi è vuoto, ad esempio $B=\emptyset$, allora $A\times \emptyset=\emptyset$.

Esempio

Consideriamo gli insiemi $A=\{2, 3, 4\}$ e $B=\{1, 5\}$.

La cardinalità di $A \times B$ è: $\mid A \times B\mid= \mid A\mid \cdot \mid B \mid =3 \cdot 2=6$.

$A \times B=\{(2, 1), (2, 5), (3, 1), (3, 5), (4, 1), (4, 5)\}$.

La cardinalità di $B \times A$ è: $\mid B \times A\mid= \mid B\mid \cdot \mid A \mid =2 \cdot 3=6$.

$B \times A=\{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)\}$.

Si osserva che il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa: $A \times B \neq B \times A$.