Identità di Eulero
L’identità di Eulero è la formula più bella della matematica in cui compaiono il numero di Nepero $e$, $\pi$, l’unità…
Radici di un numero complesso
Dato il numero complesso $\displaystyle z=1-i\sqrt{3}$, calcolare $\displaystyle \sqrt{z}$. SOLUZIONE Calcoliamo dapprima: $\displaystyle \rho=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2$ $ \displaystyle \cos \vartheta =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{2}$ e…
Potenze dell’unità immaginaria
Calcolare le potenze dell’unità immaginaria $i$, ricordando che $i^2=-1$. SOLUZIONE $ i^0=1$$i^1=i$$i^2=-1$$i^3=i^2\cdot i=-i$$i^4=(i^2)^2=1$$i^5=i^4\cdot i=i$$i^6=(i^2)^3=-1$$i^7=i^6\cdot i=-i$$i^8=(i^2)^4=1$$i^9=i^8\cdot i=i$$i^{10}=(i^2)^5=-1$$i^{11}=i^{10}\cdot i=-i$
Operazioni tra numeri complessi in forma esponenziale
Ricordiamo le operazioni tra numeri complessi in forma esponenziale: Siano $\displaystyle z_1=\rho_1 e^{i\vartheta_1}$ e $\displaystyle z_2=\rho_2 e^{i\vartheta_2}$ Moltiplicazione $\displaystyle z_1\cdot…
Operazioni tra numeri complessi in forma trigonometrica
Moltiplicazione e divisione: Siano $\displaystyle z_1=\rho_1(\cos \vartheta_1 + i \sin \vartheta_1)$ e $\displaystyle z=\rho_2(\cos \vartheta_2 + i \sin \vartheta_2)$ $\displaystyle…
Operazioni tra numeri complessi in forma algebrica
Addizione e sottrazione $\displaystyle (5+2i)+(-2+i)=5+2i-2+i=3+3i$ $\displaystyle (5+2i)-(-2+i)=5+2i+2-i=7+i$ Moltiplicazione $\displaystyle (5+2i)\cdot (-2+i)=-10-4i+5i+2i^2=-10-4i+5i-2==-12+i$ Reciproco $z=2-3i$, il reciproco di $z$ é: $\displaystyle\frac{1}{z}=\frac{1}{2-3i}=\frac{1}{2-3i}\cdot \frac{2+3i}{2+3i}=\frac{2+3i}{4-9i^2}=\frac{2+3i}{4+9}=\frac{2+3i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i$…
Passaggio da forma trigonometrica ad algebrica
Scrivere il numero $\displaystyle z=2\left[\cos {\left(-\frac{\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\right]$ in forma algebrica. SOLUZIONE $\displaystyle z=2\left(0-i\right)=-2i$ (forma algebrica)
Passaggio da forma algebrica a trigonometrica
Scrivere il numero $\displaystyle z=\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}$ in forma trigonometrica. SOLUZIONE Dalla forma algebrica ricacciamo $a$ e $b$: $\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle b=\frac{1}{2}$…
Rappresentazione di un numero complesso
Rappresentare un numero complesso in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale. a) $\displaystyle z=a+ib$ $\longrightarrow$ (forma algebrica o cartesiana) $\displaystyle z=3+4i$…