Intersezione

L’intersezione di due insiemi $A$ e $B$ è l’insieme, indicato con $A\cap B$, costituito dagli elementi che appartengono sia ad $A$ sia a $B$. In simboli: $A \cap B = \lbrace x | x \in A\: \text{e}\: x \in B \rbrace$.

Due insiemi si dicono disgiunti se $A \cap B =\emptyset$.

Se $B\subseteq A$, allora $B\cap A=B$.

Esempio: Siano $A = \{x \in \mathbb{N} \: |\: 3\leq x\leq7\} ,\:\: B = \{x\in \mathbb{N}\:|\:\text{x divide 12}\}$, $A\cap B=\lbrace 3, 4, 6\rbrace$.

Unione

L’unione di due insiemi $A$ e $B$ è l’insieme, indicato con $A\cup B$, costituito dagli elementi che appartengono ad $A$ o a $B$ o a entrambi. In simboli: $A \cup B = \lbrace x | x \in A\: \text{o}\: x \in B \rbrace$.

Esempio: Siano $A = \{x \in \mathbb{N} \: |\: 3\leq x\leq7\} ,\:\: B = \{x\in \mathbb{N}\:|\:\text{x divide 12}\}$, $A\cup B=\lbrace 1,2,3,4, 5, 6, 7, 12\rbrace$.

Differenza

La differenza di due insiemi $A$ e $B$ è l’insieme, indicato con $A – B$, costituito dagli elementi di $A$ che non appartengono a $B$. In simboli: $A – B = \lbrace x | x \in A\: \text{e}\: x \notin B \rbrace$.

Esempio. Siano $A = \{x \in \mathbb{N} \: |\: 3\leq x\leq7\} ,\:\: B = \{x\in \mathbb{N}\:|\:\text{x divide 12}\}$, $A- B=\lbrace 5, 7 \rbrace$.

Complementare

Dato un insieme $A$, si dice complementare di $A$ rispetto a un insieme universo $U$ e si indica con $\overline{A}$, l’insieme $U-A$.

Esempio. Siano $A = \{x \in \mathbb{N} \: |\: 1\leq x\leq 7\} ,\:\: U = \{x\in \mathbb{N}\:|\:1\leq x\leq 11\}$, $\overline{A}= U- A=\lbrace 8, 9, 10, 11 \rbrace$.

Proprietà delle operazioni

Consideriamo tre insiemi $A$, $B$ e $C$, valgono le seguenti proprietà:

idempotenza:

$A\cup A=A$

$A\cap A=A$

commutativa:

$A\cup B=B\cup A$

$A\cap B=B\cap A$

associativa:

$A\cup (B \cup C)=(A\cup B) \cup C$

$A\cap (B \cap C)=(A\cap B) \cap C$

distributiva dell’unione rispetto all’intersezione:

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

distributiva dell’intersezione rispetto all’unione:

$A\cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

Leggi di De Morgan:

$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$

$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$