Dati due insiemi $\displaystyle A$ e $\displaystyle B$, si dice che $\displaystyle B$ è un sottoinsieme di $\displaystyle A$ (oppure che $\displaystyle B$ è contenuto o incluso in $\displaystyle A$) se ogni elemento di $\displaystyle B$ appartiene ad $\displaystyle A$.

L’insieme vuoto e l’insieme stesso si considerano particolari sottoinsiemi, detti impropri; ogni altro sottoinsieme, non improprio, viene chiamato proprio.

Simboli di inclusione: $\displaystyle \subset$, $\displaystyle \subseteq $, $\displaystyle \supset$, $\displaystyle \supseteq $.

Negazione dei simboli di inclusione: $\displaystyle \not\subset$, $\displaystyle \not\subseteq $, $\displaystyle \not\supset$, $\displaystyle \not\supseteq $.

$\displaystyle A \subset B$ si legge $\displaystyle A$ è contenuto in $\displaystyle B$ e$\displaystyle A \neq B$;

$\displaystyle A \subseteq B$ si legge $\displaystyle A$ è contenuto in $\displaystyle B$;

$\displaystyle A \supset B$ si legge $\displaystyle A$ contiene $\displaystyle B$ e $\displaystyle A \neq B$;

$\displaystyle A \supseteq B$ si legge $\displaystyle A$ contiene $\displaystyle B$.

Attenzione alle scritture: $A \subseteq A$ è corretta, mentre $A \subset A$ è errata. $\emptyset \subseteq A$ è corretta; $\emptyset \subset A$ è corretta se $A\neq \emptyset$.

Se un insieme $A$ ha $n$ elementi, cioè $|A|=n,$ allora esso avrà $2^n$ sottoinsiemi.

Per gli insiemi numerici valgono le seguenti inclusioni: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

Dato un qualsiasi insieme $A$, l’insieme formato da tutti i suoi sottoinsiemi (propri e impropri) si chiama insieme delle parti di $A$ e si indica con il simbolo $P(A)$.

Esempio. Consideriamo l’insieme $A=\lbrace 1, 2, 3\rbrace$, i sottoinsiemi impropri di $A$ sono: l’insieme vuoto $\emptyset$ e $A$ stesso. I sottoinsiemi propri sono: $\lbrace 1 \rbrace$, $\lbrace 2 \rbrace$, $\lbrace 3 \rbrace$, $\lbrace 1, 2 \rbrace$, $\lbrace 1, 3 \rbrace$ e $\lbrace 2, 3 \rbrace$. L’insieme delle parti di A è: $P(A)=\lbrace \emptyset, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 2 \rbrace, \lbrace 3 \rbrace, \lbrace 1, 2 \rbrace, \lbrace 1, 3 \rbrace, \lbrace 2, 3 \rbrace, \lbrace 1, 2, 3 \rbrace\rbrace$.