Stabilire se le seguenti relazioni sono di ordine; in caso affermativo, specifica se l’ordine è stretto o largo, parziale o totale.

In un insieme di persone la relazione R:”x è fratello di y”.
In un insieme di persone la relazione  R:”x è figlio di y”.
In $\mathbb{N}$ la relazione R:”x è il quadrato di y”.
In $A=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \rbrace$ la relazione R:”x è divisore di y”.
In $A=\lbrace  2,  4, 8, 16 \rbrace$ la relazione R:”x è divisore di y”.
In $\mathbb{N}$ la relazione R:”x è minore di y”.
In $\mathbb{N}$ la relazione R:”x è minore o uguale a y” .

SOLUZIONE

In un insieme di persone la relazione R:”x è fratello di y” non è una relazione d’ordine perché non vale la proprietà antisimmetrica.
In un insieme di persone la relazione  R:”x è figlio di y” non è una relazione d’ordine perché non vale la proprietà transitiva.
In $\mathbb{N}$ la relazione R:”x è il quadrato di y” non è una relazione d’ordine perché non vale la proprietà transitiva.
In $A=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \rbrace$ la relazione R:”x è divisore di y” è una relazione d’ordine largo e parziale perché ci sono coppie di elementi non confrontabili (ad esempio 3 non è divisore di 5 e 5 non è divisore di 3).
In $A=\lbrace  2, 4, 8, 16 \rbrace$ la relazione R:”x è divisore di y” è una relazione d’ordine largo e  totale.
In $\mathbb{N}$ la relazione R:”x è minore di y”  è una relazione d’ordine stretto e totale.
In $\mathbb{N}$ la relazione R:”x è minore o uguale a y” è una relazione d’ordine largo e totale.