Teorema del resto

Se un polinomio $P(x)$, di grado maggiore o uguale a $1$, viene diviso per $(x – a)$, il resto della divisione è costante e uguale a $P(a)$.

Dimostrazione

$P(x) = Q(x)\cdot (x-a) + R(x)$
Visto che $(x – a)$ è di primo grado, il resto è di grado 0 o è uguale a 0, quindi:
$P(x) = Q(x)\cdot (x-a) + R$
Con $x=a$ si ha: $P(a) = Q(a)\cdot (a-a) + R=R$.

Esempio.

Troviamo il resto della divisione di $P(x)=x^3+2x^2-x-1$ per $x-3$.
$P(3)=3^3+2\cdot 3^2-3-1=41$