Un’equazione differenziale del primo ordine è a variabili separabili quando può essere scritta nella forma $y’ = g(x)\cdot h(y)$, con $g(x)$ e $h(y)$ funzioni continue rispettivamente nella sola variabile $x$ e nella sola $y$.

Per risolvere l’equazione differenziale $y’ = g(x)\cdot h(y)$

• si scrive $\displaystyle \frac{dy}{dx} = g(x)\cdot h(y)$;
• si separano le variabili $\displaystyle \frac{dy}{h(y)} = g(x)dx$, con $h(y)\neq 0$;
• si integrano entrambi i membri $ \displaystyle \int  \frac{1}{h(y)}\, dy= \int g(x)\,dx$, si ricava $y$ in funzione di x
• si esaminano i casi derivanti da $h(y)=0$;

ESEMPIO

$\displaystyle y’ = \frac{x^2}{y}$, in cui $\displaystyle g(x)=x^2$ e $\displaystyle h(y)=\frac{1}{y}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}$

 $ \displaystyle \int y \, dy= \int x^2\,dx$

$ \displaystyle \frac{y^2}{2}= \frac{x^3}{3}+c$

$ \displaystyle y^2= \frac{2}{3}x^3+2c$

$ \displaystyle y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}x^3+2c}$

Visto che 2c rappresenta tutti i valori reali, possiamo riscrivere la soluzione:

$ \displaystyle y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}x^3+c}$, con $c\in \mathbb{R}$

Inoltre, è sempre $h(y) \neq 0$, quindi non ci sono soluzioni costanti.