Stabilire se è possibile applicare il teorema di Rolle alle seguenti funzioni nell’intervallo indicato e, in caso affermativo, trovare il punto o i punti stazionari che soddisfano la tesi.

a) $\displaystyle f(x)=x^3-4x$ in $[-2,2]$;

b) $\displaystyle f(x)=x^4-2x$ in $[0,2]$;

c) $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x^2}$ in $[-2,2]$.

a) Verifichiamo se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rolle:

– La funzione $\displaystyle f(x)=x^3-4x$ è continua in $[-2,2]$;

– La sua derivata è: $\displaystyle f'(x)=3x^2-4$; la funzione è derivabile in $(-2,2)$.

– $\displaystyle f(-2)=f(2)=0$.

Le ipotesi del teorema sono soddisfatte, quindi esiste almeno un punto $c\in(-2,2)$ tale che $\displaystyle f'(c)=0$;

$\displaystyle 3c^2-4=0$;

$\displaystyle c=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$;

Le due soluzioni sono entrambe accettabili perché appartengono all’intervallo $(-2,2)$.

b) Verifichiamo se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rolle:

– La funzione $\displaystyle f(x)=x^4-2x$ è continua in $[0,2]$;

– La sua derivata è: $\displaystyle f'(x)=4x^3-2$; la funzione è derivabile in $(0,2)$.

– $\displaystyle f(0)\neq f(2)$.

Le ipotesi del teorema di Rolle non sono soddisfatte, quindi non è assicurata l’esistenza di un punto stazionario nell’intervallo $(0, 2)$.

c) Verifichiamo se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rolle:

– La funzione $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x^2}$ non è continua in $[-2,2]$ in quanto non è definita in 0.

Le ipotesi del teorema di Rolle non sono soddisfatte, quindi non è assicurata l’esistenza di un punto stazionario nell’intervallo $(-2, 2)$.