a) Determinare $a_{16}$, dati $a_1=5$ e $d=4$.

Per $n=16$, la formula $\displaystyle a_n=a_1 +(n-1)d$ fornisce:

$\displaystyle a_{16}=5 +(16-1)4=65$.

b) Determinare $a_{1}$, dati $a_{10}=75$ e $d=4$.

Sostituiamo i termini noti nella formula $\displaystyle a_n=a_1 +(n-1)d$.

Otteniamo l’equazione: $\displaystyle a_{10}=a_1 +(10-1)4, \:\rightarrow 75=a_1 +36$, da cui si ricava:

$\displaystyle a_1=75-36=39$.

c) Determinare $a_{1}$, e $d$, dati $a_{2}=2$ e $a_5=17$.

Data la formula $\displaystyle a_n=a_1 +(n-1)d$, scriviamo le equazioni:

$\displaystyle a_{2}=a_1 +(2-1)d \:\rightarrow 2=a_1 +d$

$\displaystyle a_{5}=a_1 +(5-1)d \:\rightarrow 17=a_1 +4d$

Risolvendo il sistema formato dalle due equazioni, si trova $a_1=-3$ e $d=5$.

d) Determinare $x_1$ e $x_2$ in modo che $3, x_1, x_2, 15$ siano i primi quattro termini di una progressione aritmetica.

Ricaviamo la ragione $d$: $\displaystyle a_4=a_1+(4-1)d \rightarrow 15=3+3d$, da cui: $d=4$.

Ricaviamo $a_2=3+(2-1)4=7$ e $a_3=3+(3-1)4=11$.