Dato il numero complesso $\displaystyle z=1-i\sqrt{3}$, calcolare $\displaystyle \sqrt{z}$.

SOLUZIONE

Calcoliamo dapprima: $\displaystyle \rho=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2$

$ \displaystyle \cos \vartheta =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{2}$ e $\displaystyle \sin \vartheta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$ $\rightarrow$ $\displaystyle \vartheta=\frac{5}{3}\pi$

Poi, sapendo che $\displaystyle z^{\frac{1}{n}}=\rho^{ \frac{1}{n}} e^{i\frac{\vartheta+2k\pi}{n}}$ con $k=0, 1,2, \ldots, n-1$,

calcoliamo: $\displaystyle z^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} e^{i\frac{\frac{5}{3}\pi+2k\pi}{2}}$ con $k=0, 1$

per $k=0$ $\rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{2} e^{i\frac{\frac{5}{3}\pi}{2}}=\sqrt{2} e^{i\frac{5}{6}\pi}$

per $k=1$ $\rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{2} e^{i\frac{\frac{5}{3}\pi+2\pi}{2}}=\sqrt{2} e^{i\frac{11}{6}\pi}$