$ \displaystyle \int \ln(x) \, dx = \int 1 \cdot \ln(x) \, dx$

Applicando l’integrazione per parti con g(x) = $\ln(x)$ e $f'(x) = 1$, calcoliamo $g'(x)$ e $f(x)$:

$ \displaystyle g'(x) = \frac{1}{x}$ e $\displaystyle f(x) = x$

Utilizzando la formula dell’integrazione per parti:

$\displaystyle \int f'(x)\cdot g(x) dx= f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g'(x) dx$

otteniamo:

$ \displaystyle \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – \int x \left(\frac{1}{x}\right) \, dx = x \ln(x) – \int dx = x \ln(x) – x + c$

Quindi, l’integrale di $ln(x)$ è:

$ \displaystyle \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – x + c=x( \ln(x) – 1)+c$

dove ( c ) rappresenta la costante di integrazione.